定義（Grothendieck coverage）

$\cat{C}$上のGrothendieck coverageとは、各対象$a$に対して、$a$上のsieveの集まりを与える写像$J$であって、以下の3つの条件を満たすものである。

1. 任意の対象$a$について、maximal sieve $t_a = \{f \mid \cod(f) = a \}$が$J(a)$の要素になる。
2. Stability公理：任意の対象$a,b$と射$h : b \to a$、各$S \in J(a)$について、$h^\ast(S) \in J(b)$となる。
3. Transitivity公理：任意の対象$a$と$S \in J(a)$、さらに$a$上の任意のsieve $R$が与えられたとする。「任意の$h \in S$について$h^\ast(R) \in J(\dom(h))$」ならば、$R \in J(a)$となる。

命題

Grothendieck coverageの定義は、次の条件を含意する。

• $S \in J(a)$と、任意の$f \in S$について$R_f \in J(\dom(f))$が与えられたとき、sieve $\{f g \mid \text{$f \in S$ and $g \in R_f$}\}$は$J(a)$の要素となる。

証明

transitivity公理より、「任意の$h \in S$について$h^\ast(\{f g \mid \text{$f \in S$ and $g \in R_f$}\}) \in J(\dom(h))$」を示せばよい。ここで、$Q_h \defeq h^\ast(\{f g \mid \text{$f \in S$ and $g \in R_f$}\})$と置くと、

となる。しかし、前段落の議論により、$R_h \subseteq Q_h$は$Q_h \in J(\dom(h))$を含意する。

定義 (景)

景(site)とは、$U$-smallな圏$\cat{C}$と、$\cat{C}$上のGrothendieck coverage $J$の組$(\cat{C}, J)$である。元$S \in J(a)$をcovering sieveと呼び、$S$が$a$を($J$-)coverすると言う。

1. $S$がsieveで$f \in S$ならば、$S$は$f$をcoverする。
2. sieve $S$が$f : b \to a$をcoverするならば、任意の対象$c$と$g : c \to b$について、$S$は$fg$をcoverする。
3. sieve $S$が$f : b \to a$をcoverし、$R$が任意の$h \in S$をcoverするとき、$R$は$f$をcoverする。

命題

1. 2つのsieve $R,S$が$a$をcoverするならば、sieve $R \intersect S$も$a$をcoverする。
2. 2つのsieve $R,S$が$f : b \to a$をcoverするならば、sieve $R \intersect S$も$f$をcoverする。

証明

1. 任意の$(f : b \to a) \in R$について、
   $$\begin{align*} f^\ast(R \intersect S) &= \{g \mid \text{$\cod(g) = b$ and $fg \in R \intersect S$} \} \\ &= \{g \mid \text{$\cod(g) = b$ and $fg \in S$} \} \\ &= f^\ast(S) \\ &\in J(b) \end{align*}$$
   となり、transitivity公理より、$R \intersect S \in J(a)$となる。
2. (1)より、$f^\ast(R),f^\ast(S)$が$b$をcoverするとき、sieve $f^\ast(R) \intersect f^\ast(S)$は$b$をcoverする。ここで、$f^\ast(R) \intersect f^\ast(S) = f^\ast(R \intersect S)$が成り立つので、$f^\ast(R \intersect S)$は$b$をcoverする。

定義（Basis）

圏$\cat{C}$がすべての引き戻しを持つとする。$\cat{C}$上のbasisとは、$\cat{C}$の各対象$a$に「$a$への射の族の集まり$K(a)$」を与える写像$K$であって、以下の条件を満たすものである。

1. 任意の同型射$f : a' \to a$について、$\{ f \} \in K(a)$となる。
2. $\{ f_i : a_i \to a \mid i \in I \} \in K(a)$ならば、任意の射$g : b \to a$について、$\{\pi' : a_i \times_a b \to b \mid i \in I \} \in K(b)$となる。ここで各$i \in I$について、$\pi' : a_i \times_a b \to b$は次の引き戻し図式の射影である。
   
3. $\{ f_i : a_i \to a \mid i \in I \} \in K(a)$かつ、各$i \in I$について$\{ g_{i,j} : b_{i,j} \to a_i \mid j \in I_i \}\in K(a_i)$ならば、$\{f_i \circ g_{i,j} \mid i \in I, j \in I_i \} \in K(a)$が成り立つ。

定義（Refinement）

$a$を対象とする。$a$への射の族$\{ f_i : a_i \to a \mid i \in I \}$が$\{ g_j : b_j \to a \mid j \in J \}$をrefineするとは、任意の$f_i$が何らかの$g_j$で分解されること、つまり、ある射$h_i : a_i \to b_j$が存在して、$f_i = g_j h_i$となることである。

命題

任意の2つのcovering family $R,P \in K(a)$について、共通のrefinmentが$K(a)$の要素として存在する。

証明

Basis $K$からGrothendieck coverage $J$を生成する。すると、$R,P \in K(a)$について、$R \subseteq R^\dagger$と$P \subseteq P^\dagger$が成り立つので、$R^\dagger, P^\dagger \in J(a)$となる。したがって、命題(1)より、$R^\dagger \intersect P^\dagger \in J(a)$となるが、$J$の定義より、ある$T \in K(a)$が存在して、$T \subseteq R^\dagger \intersect P^\dagger$となる。あとは、$T$が$R$と$P$をrefineすることを示せばよいが、$R^\dagger$が明らかに$R$をrefineし、$P^\dagger$についても同様なので、$T$が$R$と$P$のrefinementになる。

定義（景上の層）

前層$F : \cat{C}^\op \to \Set$が景$(\cat{C}, J)$上の層であるとは、任意の対象$a$とcovering sieve $S \in J(a)$について、包含自然変換$S \hookrightarrow \yoneda a$によって導出される写像$\theta : \Hom{\yoneda a}{F} \to \Hom{S}{F}$が全単射であることを言う。

命題

前層$F : \cat{C}^\op \to \Set$が$J$についての層になるのは、任意の対象$a$とcovering family $\{ f_i : a_i \to a \mid i \in I \} \in K(a)$について、次の図式が$\Set$におけるイコライザになるとき、かつそのときに限る。

ただし、$a_i \times_a a_j$は$f_i : a_i \to a$と$f_j : a_j \to a$の引き戻し

であり、$e,p,q$は次のように定義される。

証明

1. ($\Leftarrow$) 任意の対象$a$とcover $S \in J(a)$が与えられたとする。$J$の定義により、ある$R \in K(a)$が存在して、$R \subseteq S$となる。Matching family $\alpha \in \Hom{S}{F}$が与えられたとする。$R$を$\{ f_i : a_i \to a \mid i \in I \}$と置くと、$\{\alpha_{a_i}(f_i)\}_{i \in I}$は$\prod_{i \in I} F a_i$の要素となる。$\alpha$の自然性により、射$\pi : a_i \times_a a_j \to a_i$について以下の図式が可換になる。

   

   この可換図式により、

   $$\{\alpha_{a_i}(f_i) \restriction_{\pi}\}_{i,j \in I} = \{\alpha(f_i \circ \pi)\}_{i,j \in I}$$

   が成り立ち、同様に

   $$\{\alpha_{a_j}(f_j) \restriction_{\pi'}\}_{i,j \in I} = \{\alpha(f_j \circ \pi')\}_{i,j \in I}$$

   も成り立つ。しかし、$a_i \times_a a_j$は引き戻しなので、

   $$f_i \circ \pi = f_j \circ \pi'$$

   が成り立ち、したがって、

   $$\{\alpha_{a_i}(f_i) \restriction_{\pi}\}_{i,j \in I} = \{\alpha_{a_j}(f_j) \restriction_{\pi'}\}_{i,j \in I}$$

   となる。つまり、$\{\alpha_{a_i} (f_i)\}_{i \in I} \in \{ X \in \prod_{i \in I} F a_i \mid p (X) = q (X) \}$となるが、イコライザは同型を除いて一意なので、

   $$\begin{align*} e(x) &= \{x \restriction_{f_i} \}_{i \in I} &\text{(by definition)} \\ &= \{\alpha_{a_i} (f_i)\}_{i \in I} \end{align*}$$

   となる一意の$x \in Fa$が存在する。

   後は、この$x$が任意の$g \in S$について${x \restriction_g} = \alpha (g)$となることを示せばよい。まず、$R$の$g : b \to a$に沿った引き戻しを取る。つまり、$\{\pi' : a_i \times_a b \to b \mid i \in I \}$について考えると、これはbasisのstability公理により、$K(b)$の要素になる。

   

   任意の$i \in I$について、以下の等式が成り立つ。（$\pi'$は射$a_i \times_a b \to b$である。）

   $$\begin{align*} x \restriction_g \restriction_{\pi'} &= x \restriction_{g \circ \pi'} &\text{(by functoriality)} \\ &= x \restriction_{f_i \circ \pi} &\text{(by the commutative diagram)} \\ &= x \restriction_{f_i}\restriction_{\pi} &\text{(by functoriality)} \\ &= \alpha_{a_i} (f_i) \restriction_{\pi} &\text{(by $f_i \in R$)} \\ &= \alpha (f_i \circ \pi) &\text{(by naturality)} \\ &= \alpha (g \circ \pi') &\text{(by the commutative diagram)} \\ &= \alpha_b (g) \restriction_{\pi'} &\text{(by naturality)} \end{align*}$$

   ここで、$\{\pi' : a_i \times_a b \to b \mid i \in I \}$はcovering familyであり、$\{ x \restriction_g \restriction_{\pi'} \}_{i \in I}$は$\prod_{i \in I} F (a_i \times_a b)$の要素であるので、上記のイコライザ図式を適用できる。$e$が（正則）モノであるので、${x \restriction_g} = \alpha_b (g)$となる。

2. ($\Rightarrow$) $F$が層であるとする。任意の対象$a$とcovering family $R = \{ f_i : a_i \to a \mid i \in I \} \in K(a)$が与えられたとする。圏$\Set$は完備なので、$p$と$q$のイコライザ$E = \{X \in \prod_{i \in I} F a_i \mid pX = qX \}$が存在する。

   

   任意の$\{x_i\}_{i \in I} \in E$について、$R^\dagger \in J(a)$についてのmatching family $\alpha$を

   $$\begin{align*} \alpha_b (g : b \to a) &\defeq x_i \restriction_h &\text{(where $g = f_i \circ h$ for some $i$ and $h : b \to a_i$)} \end{align*}$$

   と定義する。この定義は、$i$や$h$の選択によらない：もし$j$と$k : b \to a_j$が存在して、$g = f_j \circ k$と分解されるならば、引き戻し$a_i \times_a a_j$の普遍性により、$h = \pi \circ l$かつ$k = \pi' \circ l$となる一意の射$l$が存在する。

   

   したがって、

   $$\begin{align*} x_i \restriction_h &= x_i \restriction_{\pi \circ l} \\ &= x_i \restriction_{\pi} \restriction_l \\ &= x_j \restriction_{\pi'} \restriction_l \\ &= x_j \restriction_{\pi' \circ l} \\ &= x_j \restriction_k \end{align*}$$

   となる。

   $F$が層であるので、「任意の$f \in R^\dagger$について$\alpha (f) = x \restriction_f$」となるような一意の$x \in F a$が存在する。特に、任意の$i \in I$について、$\alpha (f_i) = x_i = x \restriction_{f_i}$となる。したがって、$x$は$e : F a \to E$の$\{x_i\}_{i \in I}$におけるfiberの元になる。次に、このfiberがsingletonであることを示す。$y \in Fa$が存在して、任意の$i \in I$について${y \restriction_{f_i}} = x_i$が成り立つとする。任意の$g \in R^\dagger$について、

   $$\begin{align*} y \restriction_g &= y \restriction_{f_i \circ h} &\text{(for some $i$ and $h : \dom(g) \to a_i$)} \\ &= y \restriction_{f_i} \restriction_h \\ &= x_i \restriction_h \\ &= x \restriction_{f_i} \restriction_h \\ &= x \restriction_{f_i \circ h} \\ &= x \restriction_g \\ &= \alpha(g) \end{align*}$$

   が成り立つ。したがって、$y$もmatching family $\alpha$のamalgamationになるが、層の定義よりこれは一意的でなければならない。よって、$y = x$となる。以上により、射$e : Fa \to E$が同型射になるので、当命題の図式がイコライザになることが分かる。